随机过程（1705）

《随机过程引论》教学大纲

(2025－2026年第一学期)

 

课程：                    随机过程引论

 

授课教师：                何萍

                          答疑时间：预约或每周二下午3:30-4:30

                          办公室：红瓦楼815室

                          E-mail: pinghe@mail.shufe.edu.cn

 

课程类别：                专业必修

 

课程安排说明：            2025年9月9日—2025年11月27日

                          上课时间：周二上午10:05-11:45， 周四上午10:05-11:45

授课地点：一教207

                          期终考试时间：2025年12月8日—2025年12月20日之间

 

教学学时分配表：

 

学分	总学时	理论教学学时	实践教学学时	实验教学学时	其他
3	48	48	0	0	6

 

课件网址：               https://canvas.shufe.edu.cn/courses/32503

 

教材和参考书目：

指定教材：何萍，《随机过程》(第二版)，上海财经大学出版社，2024.

 

参考书目：

1.李贤平, 概率论基础（第三版）, 高等教育出版社, 2010,

2.应坚刚，何萍，概率论（第二版），复旦大学出版社, 2016.

3.费勒, W.(胡迪鹤译)，概率论及其应用(卷1, 第三版), 2014. 

4.劳斯，S.M.(何声武等译)，随机过程，中国统计出版社，1997.

5.Ross, S.M., Introduction to Probability Models (Twelfth edition), Academic Press, San Diego, 2019.

 

预备知识：微积分以及概率论的基础

先修课程：数学分析，概率论

课程达成目标：

随机过程是一门研究随机现象随时间变化的统计规律性的数学学科，作为概率论的后续课程，用来描述一连串随机事件的动态关系。

随机过程的概念很广泛，近几十年来，随着对不确定性的研究及其在实际问题（包括人工智能）中的应用，随机过程在理论和应用方面都有着蓬勃的发展。其基础知识和方法是数学/金融/统计/保险等专业的学生与学者必备的。本课程旨在学习掌握概率论与随机过程的核心概念和思维方式，引导学生直观地理解随机现象而不陷入数学细节之中，认识到随机过程理论在金融、保险、统计、人工智能等前言领域的广泛应用和重要性，激发进一步学习的兴趣。

本课程的核心目标是，为学生奠定随机过程的直观概念基础，使其掌握经典模型的核心思想与简单应用，最终培养其“透过偶然现象发现必然规律”的随机过程思维模式，为后续深造或应用打下坚实基础。

这种从偶然中悟出必然 正是本学科的魅力所在。

 

课程设置知识要求：

在现实世界中, 许多现象是随时间的进展而变化发展的, 这些现象通常称为过程。随机过程是随时间进展而变化发展的随机现象, 是对一连串随机事件间动态关系的定量描述。与概率论一样, 随机过程有着广泛的直观背景。

1. 概率论基础：

理解样本空间、事件、概率测度的基本概念；熟练掌握离散型和连续型随机变量的概率分布，熟悉常见的分布（如二项分布、Poisson分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；熟练计算数学期望、方差、协方差、相关系数等数字特征；理解联合分布、边际分布、条件分布的概念，掌握随机变量的独立性；理解条件期望的定义和基本性质，并能进行简单计算。

2. 数学分析：

熟练掌握积分、求导、级数求和等基本运算；（推荐具备）对极限、收敛性（如ε-δ语言）有更严格的理解，有助于理解随机过程中各种收敛性的概念；

3. 基本的编程能力（推荐具备）：如Python，MATLAB，可用于模拟随机过程，直观地验证理论结果，加深理解。

本课程侧重于对随机过程直观思想的理解和模型的应用，而非严格的测度论证明。因此，对概率论知识的要求在于“会用”，即能够运用这些工具来分析和计算随机过程模型中的问题。学生应能熟练地将概率论中的概念（如分布、期望、独立性）从单个/有限个随机变量的情形，推广到无限随机变量序列（即过程）的语境中进行思考。

本教材每个章节后面附有多量的习题，所以在每次讲授内容之后都会布置一定数量的习题，学生应该多做练习帮助深入理解，以培养基本运算技巧和应用技能。对于部分偏难的应用题, 可以试着有选择性地、挑选一部分习题做练习, 以便能深刻掌握相关知识点。

 

课程设置能力要求：

1. 核心概念理解能力：能够识别和辨析不同类型的随机过程（如Poisson过程、马氏链、鞅、Brown运动）的定义与核心特征（如独立增量性、马氏性）；能够用非严格数学化的语言和实例，直观地解释随机过程的行为、性质及其现实意义；能够正确使用随机过程的专业术语和符号（如转移概率矩阵、状态分类、停时、轨道）来描述和分析问题。
2. 模型构建与应用能力：能够针对给定的简单实际问题（如排队、服务、风险、简单投资），识别出其中蕴含的随机过程模型；能够在合理假设下，将实际问题简化并抽象为一个经典的随机过程模型（如用Poisson过程模拟到达，用马氏链模拟状态转移）；能够对已建立的模型进行基本的概率计算和数字特征求解，例如计算到达时间间隔的概率、预测系统未来的状态概率、计算平均首达时间等。
3. 分析求解与计算能力：能够根据模型夫人性质（如马氏性）建立相应的方程（如Chapman-Kolmogorov方程、平稳分布方程），并利用微积分和代数工具进行求解；能够分析简单马氏链的长期行为（常返性、暂留性），并理解其平稳分布的存在性和意义；具备使用数学软件（如Python，MATLAB，R）进行基本数值计算或随机模拟，以验证理论结果和直观理解过程行为的能力。
4. 综合与迁移能力：能够将具体案例中总结出的规律，提升为对一类随机现象普遍规律的认识，体会到随机过程理论在揭示隐藏于不确定性背后的确定性规律方面的威力；能够将本课程所学的基本概念和思维方式，迁移到后续课程（如金融数学、风险管理、机器学习）或简单的研究实践中，理解更复杂模型的基础；能够在严格的数学框架和直观的概率解释之间自如切换，既能用数学语言精准描述问题，又能用通俗语言阐释结论。

本课程的能力培养重点在于， 将概率论知识转化为对动态随机系统的“建模直觉”和“分析技能”，使学生不再是被动的知识接受者，而是能主动运用随机过程思维去理解、描述和预测现实世界不确定性现象的初步探索者。

 

考核形式：

期末考试采用 闭卷 方式，学生的最后的总分计算方法如下：

课后习题                           15%

考    勤                           5%

课堂参与/小测验                    10%

期末考试                           70%

 

试卷结构:

    填空题                             0%

    选择题                             0%

    是非判断题                         0%

    名词解释                           0%

    简答题                             10%

    计算题                             80%

    证明题                             10%

 

学术诚实

    涉及学生的学术不诚实问题主要包括考试作弊；抄袭；伪造或不当使用在校学习成绩；未经老师允许获取、利用考试材料。对于学术不诚实的最低惩罚是考试给予0分。其它的惩罚包括报告学校相关部门并按照有关规定进行处理。

 

随机过程引论课程教学要点

教学大纲

 

• 概率论述要

 

随机过程是一门研究随机现象随时间变化的统计规律性的数学学科。在学习随机过程之前, 先简单介绍概率论的基础知识。任何数学概念都需要有一个确切无误的定义, 下面我们将从定义概率与概率空间出发，回顾随机过程理论所需要的重要概念和相关结果。

• 1.1 随机变量
• 1.2 随机向量
• 1.3 极限定理
• 1.4 矩母函数及母函数

 

第二章  随机过程预备知识

 

我们无法预知随机事件的结果, 但总有一个预期, 就是数学期望. 预期随着时间的推移以及信息的增加会改变, 就是条件期望. 本章将从定义随机变量关于事件域的条件期望开始。

另外，随机变量有几乎处处相等以及同分布的概念, 随机过程也有类似的概念。随机过程的分布是通过其中任意有限多个随机变量的联合分布或者说有限维分布来刻画的。

后面我们将看到过程的有限维分布族是研究随机过程的一个很好的工具, 有时它比随机

过程本身更为重要。

 

• 2.1 条件期望
• 2.2 随机过程的定义及例

 

 

第三章  离散时间马氏链

 

初步了解随机过程直观上是随机现象中按时间顺序记录的数据, 它的研究对象通常是依序排列的无限多个随机变量。马氏过程是一类有广泛应用的随机过程, 而马氏链是一类特殊的马氏过程, 比如独立随机试验模型最直接的推广就是马氏链模型, 因早在 1906 年就对它进行研究的俄国数学家马尔可夫( A.A. Markov) 而得名, 马氏链是指马尔科夫链。以后 Kolmogorov、Feller、Doob 等数学家发展了这一理论。

 

• 3.1 随机游动
• 3.2 马氏链的基本定义
• 3.3 Chapman-Kolmogorov方程与状态的分类
• 3.4 n步转移矩阵的极限性质与平稳分布
• 3.5* 分支过程

 

 

 

第四章  Poisson 过程

 

众所周知, 许多偶然现象可用 Poisson 分布来描述, 实际上大量自然界的物理过程可用 Poisson 过程来刻画.Poisson 分布是随机建模的重要基石, 也是学习随机过程理论的重要直观背景。例如,电话总机所接受到的传呼次数、交通流中的交通事故数、地震记录、细胞中染色体的交换等,这类变化过程可粗略地假定为有相同的变化类型。

这里，我们所关心的是随机事件的数目, 而每个变化可用时间或空间上的一个点表示.这类过程有两个性质:

1. 在时间或空间上的均匀性；
2. 未来的变化与过去的变化无关。

基于这些性质推导出 Poisson 过程的模型。

 

• 4.1 预备知识
• 4.2 Poisson 过程的定义
• 4.3 来到时间间隔与等待时间的分布
• 4.4 来到时间的条件分布
• 4.5* 非齐次 Poisson 过程
• 4.6 复合 Poisson 过程

 

        第五章  更新过程

 

更新过程实际上是 Poisson 过程的推广, 计数过程的来到时间间隔可视为独立同分布于任意分布的随机序列，而Poisson过程的来到时间间隔服从指数分布。

这里所有的结果对于Poisson过程也是成立的。

 

• 5.1 基本定义
• 5.2 N(t) 的分布与更新函数
• 5.3 极限定理与停时
• 5.4* 关键更新定理及其应用

 

 

第六章  鞅

 

直观地引入大家所熟悉地游戏或者赌博, 引导学生观察或者参与一个游戏, 让大家自然地思考这个游戏对参与的人是否是公平的, 没有人会去玩不公平的游戏, 那么数学上如何来描述这种公平性呢? 这就是鞅的概念。

 

• 6.1 公平游戏与鞅
• 6.2 鞅基本定理
• 6.3 在金融中的应用

 

 

第七章  Brown 运动

 

如果数学概念有血统的话, 那么 Brown 运动绝对有辉煌的血统。它是生物学家 R. Brown 首先提出来研究的一种现象: 花粉在液体表面的运动。然后由历史上最伟大的物理学家之一 A. Einstein 在研究热传导现象的时候给出其转移密度函数, 最终由天才的数学家, 控制论创始人 N. Wiener 证明了其轨道的连续性, 证明了它是花粉运动的一个恰当的数学模型。 当然, Brown 运动也无愧于其血统, 它绝对是概率论中最重要, 被用得最多的一个随机过程。

无论从哪个角度, 重要性以及其历史, Brown 运动确实是一个值得多说几句的理论。经典的 Brown 运动是指花粉在液体表面的无规则运动, 应该有很多人早就注意到这个现象。苏格兰植物学家 Robert Brown 是第一个对它进行描述和研究的人, 他的论文发表于 1827 年。他开始以为这样的运动是由于外力或者花粉的生命力所导致的, 但后来发现和这些似乎应该是的原因都没有关系。当然, 论文是描述性的, 并没有数学表达式, 因此没有引起科学家的注意. 1860年开始, 物理学家注意到这个现象并寻求本质的解释. 他们发现以下几个特征:

• 粒子时刻在等可能地朝不同方向运动;
• 进一步的运动与之前的运动无关;
• 永远不会停止。

 

• 7.1 Brown 运动的定义
• 7.2 Brown 运动的性质
• 7.3 Brown 运动的其他性质
• 7.4 例
• 7.5* 粗糙轨道
• 7.6 Brown 运动与鞅