课程大纲

授课教师： 吴劲草

答疑时间：预约或周二下午 3:30-4:30

办公室：红瓦楼 906

E-mail:wujincao@shufe.edu.cn

课程类别： 选修课

课程安排说明： 2025 年 9 月 8 日—2025 年 11 月 30 日

上课时间：周二上午 8:00-9:40 周五上午 8:00-9:40

授课地点：二教 209

课程调整：10 月 3 日（国庆节休假）课程内容顺延。

期终考试时间：2025 年 12 月 1 日—12 月 28 日之间。

课件网址：https://canvas.shufe.edu.cn/courses/35026

教材和参考书目：

指定教材：
《基础拓扑学》，M.A.Armstrong 著，孙以丰译，人民邮电出版社
参考书目：
《拓扑学》，J.R.Munkres 著，熊金城 吕杰 谭枫 译，机械工业出版社
《点集拓扑讲义》，熊金城著，高等教育出版社

预备知识
微积分与线性代数理论

先修课程：数学分析、高等代数

课程达成目标：
通过本课程的学习，使学生能全面理解和掌握拓扑学的基本知识，基本理论，基本计算方法和分析方法；学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。课程在教授拓扑学理论知识的同时注重培养学生们的科学精神，培养他们认识世界、改变世界的能力，提升学生的人生理想高度。这些理论方法和能力为一些后续课程的学习及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证。

课程设置知识要求：
作为数学类选修课，本课程需要学生具备扎实的数学分析与高等代数基础知识。通过该课程的学习，要求同学们：（1）掌握拓扑空间的基本定义，并了解点集拓扑中的常用概念；（2）掌握 Euler 示性数的运算及性质，以及在几何分类中的应用；（3）掌握基本群的深刻含义，掌握其在不同实际问题中的应用；（4）掌握不动点定理的拓扑本质和几类变式，并且了解它在诸多交叉学科中的应用。

课程设置能力要求：
通过该课程的学习，要求同学们：（1）通过 Euler 定理的介绍和简单证明让学生了解拓扑学的所考虑的问题和基本思维模式；（2）通过对点集拓扑中开集、闭集、紧集、连通集和单连通集等基本概念的学习，让学生建立朴素的集合论观点，学习科学的思想方法和创新能力，理解数学思想、明晰数学方法、建立数学思维；（3）通过拓扑群的学习和训练，使学生能够掌握拓扑群中所蕴含的哲学道理，运用辩证的哲理分析问题和解决问题，培养和提高学生的辩证的思维逻辑推理能力；提高学生认知能力，培养学生的从感性认识到理性认识的自然过渡能力，培养学生的计算能力、空间想像能力、自学能力和创新能力。；（4）通过学习培养同学们主动探索、勇于发现的科学精神，创新意识和创新精神；踏实细致、严谨科学的学习习惯；相互合作、相互配合的团结协作精神。

考核形式：
期末考试采用闭卷方式，学生的最后的总分计算方法如下：
课后习题/考勤/课堂参与 不超过       40%
期末考试 不低于                                  60%
试卷结构:
概念叙述题                                           30%左右
简答题                                                   50%左右
证明题                                                   20%左右

学术诚实
涉及学生的学术不诚实问题主要包括考试作弊；抄袭；伪造或不当使用在校学习成绩；未经老师允许获取、利用考试材料。对于学术不诚实的最低惩罚是考试给予 0 分。其它的惩罚包括报告学校相关部门并按照有关规定进行处理。

课程教学要点
第一章 引论
第一节 Euler 定理
第二节 抽象空间
第三节 分类定理与拓扑不变量
了解 Euler 定理的内容并且领会其证明；熟悉拓扑空间的定义；对拓扑分类与不变量有
所了解。
【本章教学重难点】：拓扑空间的计算
【课程思政元素】：介绍 Euler 定理的发展历史：Euler 在 18 世纪通过观察、归纳与逻
辑推理，突破传统几何的局限，将多面体的顶点、棱、面数量关系抽象为普适公式。这一过
程体现了科学家对未知领域的敏锐洞察与不懈追求，启示学生培养独立思考与批判性思维，
敢于挑战既有认知。

第二章 连续性
第一节 开集与闭集
第二节 连续映射
第三节 度量所诱导的拓扑
熟练掌握开集闭集的性质及其衍生概念；熟练掌握连续映射的概念以及连续映射与开集
闭集的关系；度量所诱导的拓扑的基本性质。
【本章教学重难点】：拓扑连续性与分析连续性的关联；Tietze 扩张定理
【课程思政元素】：数学家们为了准确界定拓扑连续性，经历了漫长而艰辛的探索。他
们不满足于表面的观察，而是深入挖掘空间中图形变化的本质规律，不断尝试用严谨的数学
语言进行描述和证明。这种对真理的执着追求，激励着学生在学习和科研中，不畏困难，勇
于挑战未知，坚持不懈地追求真理。

第三章 紧致性和连通性
第一节 紧致集的定义与等价刻画
第二节 乘积空间
第三节 连通性
第四节 拓扑空间的分离性
熟练掌握紧致性的概念，性质，刻画；掌握乘积空间的构造；了解一些常见性质如紧致
性在乘积构造中的变化规律；掌握理解连通性概念；注意与数学分析中所熟知的路径连通相
区别；知道基本的空间分离性定义。
【本章教学重难点】：紧致性；连通性与路径连通性的区别
【课程思政元素】：连通性概念强调空间的整体性和不可分割性，不关心物体的具体形
状、材质等表面特征。例如，一个纸团和一个玻璃球，从拓扑学的角度看，只要它们都是连
通的且没有洞，就被视为同一种拓扑结构。这启示人们应该以平等和包容的心态看待事物，
不以外在形式或表面差异来评判其本质价值，倡导尊重多样性、消除偏见和歧视的价值观。

第四章 黏合空间
第一节 黏合拓扑
第二节 拓扑群
第三节 轨道空间
掌握粘合空间的具体构造；焊接引理；掌握基本群理论；拓扑群的具体定义；对一些简
单拓扑群的紧致连通性判断；理解轨道空间概念；掌握基本例子。
【本章教学重难点】：莫比乌斯带的几何特性；轨道空间
【课程思政元素】：莫比乌斯带将正反两面合而为一，打破了常规的二元对立思维，象
征着矛盾事物的统一性和相互依存性。如同黑夜与白天、阴与阳、正与负等看似对立的事物，
实际上都相互依存、不可分离。这提醒人们，看待事物要辩证地、全面地分析，不能片面地
强调某一方面，要学会在矛盾中寻找平衡，实现矛盾的转化和统一。

第五章 基本群
第一节 同伦映射
第二节 构造基本群
第三节 同伦型
第四节 不动点定理
第五节 曲面的边界
掌握同伦映射的定义和一些基本例子；了解基本群的构造；掌握普通空间基本群的计算
方法；掌握不动点定理的证明；了解带边界的拓扑空间的研究方法。
【本章教学重难点】：同伦概念；圆周基本群的计算
【课程思政元素】：基本群的提出和发展体现了数学家们追求真理、勇于突破的精神。
庞加莱在研究拓扑空间时，通过引入基本群的概念，揭示了空间在连续变形下的不变性质。
这启示我们在学习和科研中，要敢于挑战传统观念，突破思维局限，以创新的视角去探索未
知领域，追求真理的深度和广度。

课程进度表.pdf